Г. В. Ф. Гегель По изданию: Г. В. Ф. Гегель Наука логики. Спб., 1997 - страница 14


определенных квантов. - И в самом деле, лишь отсутствие сознания
особенности того, что составляет интерес высшего анализа и чем вызваны
потребность в дифференциальном исчислении и изобретение его, само по себе
привело к включению функций первой степени, каково уравнение прямой линии,
в состав этого исчисления; вызван такой формализм ошибочным мнением, будто
правильное в себе требование обобщения какого-нибудь метода можно
выполнить, опуская ту специфическую определенность, на которую опирается
потребность в этом методе, так что считается, будто в рассматриваемой нами
области дело вдет только о переменных величинах вообще. От значительной
доли формализма в рассмотрении этих предметов и в их трактовке можно было
бы, конечно, избавиться, если бы поняли, что дифференциальное исчисление
касается не переменных величин, как таковых, а степенных определений.
Но имеется еще дальнейшая ступень, на которой математическое бесконечное
обнаруживает свою специфику. В уравнении, в котором х и у положены прежде
всего как определенные некоторым степенным отношением, х и у, как таковые,
должны еще означать определенные количества; и вот это значение совершенно
утрачивается в так называемых бесконечно малых разностях, dx, dy уже не
определенные количества и не должны иметь значение таковых, а имеют
значение лишь в своем соотношении, имеют смысл только как моменты. Они уже
не нечто, если принимать нечто за определенное количество, они не конечные
разности; но они и не ничто, не нуль, лишенный определения. Вне своего
отношения они чистые нули, но их следует брать только как моменты
отношения, как определения дифференциального коэффициента .-.
В этом понятии бесконечного определенное количество поистине завершено в
некоторое качественное наличное бытие; оно положено как действительно
бесконечное; оно снято не только как то или иное определенное количество,
а как определенное количество вообще. Но [при этом ] сохраняется
количественная определенность как элемент определенных количеств, как
принцип или, как еще говорили, она сохраняется в своем первом понятии.
Против этого понятия и направлены все те нападки, которым подверглось
основное данное математикой определение этого бесконечного -
дифференциального и интегрального исчисления. Неправильные представления
самих математиков привели к непризнанию этого понятия; но виновна в этих
нападках главным образом неспособность обосновать этот предмет как
понятие. Однако понятие, как было указано выше, математика не может здесь
обойти, ибо как математика бесконечного она не ограничивается
рассмотрением конечной определенности своих предметов (как, например, в
чистой математике пространство и число и их определения рассматриваются и
соотносятся друг с другом лишь со стороны их конечности), а приводит
заимствованное оттуда и трактуемое ею определение в тождество с его
противоположностью, превращая, например, кривую линию в прямую, круг - в
многоугольник и т. д. Поэтому действия, к которым она позволяет себе
прибегать в дифференциальном и интегральном исчислении, находятся в полном
противоречии с природой чисто конечных определений и их соотношений и,
стало быть, могли бы найти свое обоснование только в понятии.
Если математика бесконечного настаивала на том, что эти количественные
определения суть исчезающие величины, т. е. такие, которые уже не
определенные количества, но и не ничто, а сохраняют еще некоторую
определенность относительно другого, то [нападавшим на нее] казалось
совершенно ясным, что нет, как они выражались, никакого среднего состояния
между бытием и ничто. - Каково значение этого возражения и так называемого
среднего состояния, это уже было показано выше при рассмотрении категории
становления (примечание 4). Конечно, единство бытия и ничто не есть
состояние; состояние было бы таким определением бытия и ничто, в которое
эти моменты, так сказать, попали только случайно, как бы впав в болезнь
или подвергшись внешнему воздействию со стороны ошибочного мышления;
скорее лишь эта средина и это единство, исчезание, или, что то же,
становление, и есть их истина.
То, что бесконечно, говорили далее, не подлежит сравнению как большее или
меньшее; поэтому не может быть отношения бесконечного к бесконечному по
разрядам или рангам бесконечного, а между тем такие различия бесконечных
разностей встречаются в науке, трактующей о них. - Это уже упомянутое выше
возражение все еще исходит из представления, будто здесь идет речь об
определенных количествах, сравниваемых как определенные количества, и что
определения, которые уже не определенные количества, не имеют больше
никакого отношения друг к другу. В действительности же дело обстоит
наоборот: то, что только находится в отношении, не есть определенное
количество. Определенное количество есть такое определение, которое вне
своего отношения должно иметь совершенно безразличное [к другим] наличное
бытие и которому должно быть безразлично его отличие от иного, между тем
как качественное есть лишь то, что оно есть в своем отличии от иного.
Поэтому указанные бесконечные величины не только сравнимы, но существуют
лишь как моменты сравнения, отношения.
Я приведу важнейшие определения, которые были даны в математике
относительно этого бесконечного; тогда станет ясно, что они исходят из
мысли о самом предмете, согласующейся с развитым здесь понятием, но что их
авторы не исследовали этой мысли как понятие, и в применении они вынуждены
были прибегать к уловкам, противоречащим тому, чего они хотели добиться.
Эту мысль нельзя определить более правильно, чем это сделал Ньютон. Я
оставлю здесь в стороне определения, принадлежащие представлению о
движении и скорости (от которых он главным образом и заимствовал название
флюксий), так как в них мысль выступает не в надлежащей абстрактности, а
конкретно, смешанно с несущественными формами. Эти флюксии объясняются
Ньютоном таким образом (Princ. mathein. phil. nat. L. 1. Lemma XI.
Schol.), что он понимает под ними не неделимые - форма, которой
пользовались до него математики Кавальери и другие и которая содержит
понятие определенного в себе кванта, - а исчезающие делимые. Он понимает
под ними, кроме того, не суммы и отношения определенных частей, а пределы
(limites) сумм и отношений. Против этого, говорит Ньютон, выдвигают
возражение, что у исчезающих величин не может быть никакого последнего
отношения, так как прежде чем они исчезли, оно не последнее, а когда они
исчезли, нет уже никакого отношения. Но под отношением исчезающих величин
следует понимать не то отношение, которое имеет место до или после их
исчезновения, а то отношение, вместе с которым они исчезают (quacum
evanescunt). Точно так же и первое отношение возникающих величин есть
отношение, вместе с которым они возникают.
В соответствии с состоянием научного метода того времени давалось лишь
объяснение, что под таким-то термином следует понимать то-то. Но
объяснение, что под таким-то термином следует понимать то-то, есть,
собственно говоря, лишь субъективное предложение или же историческое
требование, причем не показывают, что такое понятие в себе и для себя
необходимо и обладает внутренней истинностью. Но из сказанного видно, что
выставленное Ньютоном понятие соответствует тому, чем оказалась в
приведенном выше изложении бесконечная величина на основании рефлексии
определенного количества внутрь себя. [Под флюксиями Ньютон ] понимает
величины в их исчезновении, т. е. величины, которые уже не определенные
количества; он понимает под ними, кроме того, не отношения определенных
частей, а пределы отношения. Следовательно, исчезают, согласно этому
пониманию, и определенные количества сами по себе, члены отношения, и само
отношение, поскольку оно было определенным количеством; предел отношения
величин - это то, в чем оно есть и не есть; это означает, точнее, что он
есть то, в чем определенное количество исчезло, и тем самым сохранились
отношение только как качественное отношение количества и его члены - также
как качественные моменты количества. - Ньютон к этому прибавляет, что из
того обстоятельства, что имеются последние отношения исчезающих величин,
не следует заключать, что имеются последние величины, неделимые. Это было
бы опять-таки отходом от абстрактного отношения к таким его членам,
которые должны были бы сами по себе, вне своего соотношения, иметь
значение как неделимые, как нечто, что было бы "одним", безотносительным.
Чтобы предостеречь против этого недоразумения, он, кроме того, напоминает,
что последние отношения - это не отношения последних величин, а только
пределы, к которым отношения беспредельно убывающих величин ближе, чем
всякое данное, т. е. конечное различие, за которые, однако, они не
выходят, чтобы не стать ничем. - Под последними величинами можно было бы,
как сказано, понимать именно неделимые, или "одни". Но из определения
последнего отношения устранено представление и о безразличном,
безотносительном "одном", и о конечном определенном количестве. - Но не
нужно было бы ни беспредельного убывания, которое Ньютон приписывает
определенному количеству и которое лишь служит выражением бесконечного
прогресса, ни определения делимости, которое уже не имеет здесь никакого
прямого значения, если бы требуемое определение было развито в понятие
такого определения величины, которое есть исключительно лишь момент
отношения.
Что касается сохранения отношения при исчезновении определенных количеств,
то мы встречаем (у других авторов, например у Карно, Reflexions sur la
metaphysique du calcul infinitesimal) выражение, что в силу закона
непрерывности исчезающие величины, прежде чем исчезнуть, еще сохраняют то
отношение, из которого они происходят. - Это представление выражает
истинную природу вещей, поскольку здесь подразумевается не непрерывность
определенного количества, которой оно обладает в бесконечном прогрессе,
непрерывность, выражающаяся в том, что определенное количество так
продолжает себя в своем исчезновении, что по ту сторону его снова
возникает лишь конечное определенное количество, новый член ряда. Однако
непрерывное движение вперед всегда представляют так, что проходят имеющие
еще значение конечные определенные количества. В совершающемся же переходе
в истинное бесконечное непрерывным оказывается отношение; оно настолько
непрерывно и сохраняется, что переход состоит скорее лишь в том, что он
выделяет отношение в чистом виде и приводит к исчезновению
безотносительного определения, т. е. что определенное количество, будучи
стороной отношения, есть определенное количество еще и тогда, когда оно
положено вне этого соотношения. - Такое очищение количественного отношения
есть в этом смысле не что иное, как постижение эмпирического наличного
бытия через понятие (begriffen wird). Этим эмпирическое наличное бытие
настолько возвышается над собой, что его понятие содержит те же
определения, что оно само, но схваченные в их сущности и выраженные в
единстве понятия, в котором они лишились своего безразличного, чуждого
понятия существования (Bestehen).
Столь же интересна и другая форма, в какой Ньютон трактует разбираемые
нами величины, а именно трактовка их как производящих величин или начал.
Произведенная величина (genita) - это произведение или частное, корни,
прямоугольники, квадраты, а также стороны прямоугольников, квадратов,
вообще конечная величина. - "Рассматривая ее как переменную, как она
возрастает или убывает в постоянном движении и течении, я понимаю под
названием моментов ее мгновенные приращения или убывания. Но не следует
принимать эти моменты за частицы, имеющие определенную величину
(particulae finitae). Такие частицы суть не самые моменты, а величины,
произведенные из моментов; под последними следует понимать скорее
находящиеся в становлении принципы, или начала, конечных величин". Ньютон
отличает здесь определенное количество от него же, рассматривает, каково
оно как продукт или налично сущее и каково оно в своем становлении, в
своем начале и принципе, т. е. каково оно в своем понятии или - здесь это
то же самое - в своем качественном определении; в качественном определении
количественные различия, бесконечные приращения или убывания суть лишь
моменты; только ставшее есть то, что перешло в беэразличие наличного бытия
и во внешность, - определенное количество. - Но если философия истинного
понятия [бесконечного] должна признать эти определения бесконечного,
приведенные относительно приращений или убывании, то сразу же следует
заметить, что самые формы приращения и т. д. находятся внутри категории
непосредственного определенного количества и указанного выше непрерывного
движения вперед и что представления о приращении, приросте, умножении х на
dx или г и т. д. должны рассматриваться скорее как основное зло этих
методов как постоянное препятствие к возвышению от представления об
обычном определенном количестве к чистому определению качественного
момента количества.
Против указанных определений очень отстало представление о бесконечно
малых величинах, связанное с [представлением о] самом приращении или
убывании. Согласно этому представлению, бесконечно малые величины таковы,
что можно пренебрегать не только ими самими при сравнении с конечными
величинами, но также их высшими разрядами при сравнении с низшими, а равно
и произведениями нескольких таких величин при сравнении с одной. - У
Лейбница особенно подчеркивается требование такого пренебрежения, которому
отдали дань и предшествующие изобретатели методов, касавшихся этих
величин. Прежде всего именно это пренебрежение придает указанному
исчислению, несмотря на то, что оно удобно, видимость неточности и явной
неправильности способа его действий. - Вольф старался объяснить это
пренебрежение [величинами], следуя своей манере делать общедоступными
рассматриваемые им вопросы, т. е. лишать понятие чистоты и подменять его
неправильными чувственными представлениями. А именно он сравнивает
пренебрежение бесконечно малыми разностями высших разрядов относительно
низших с образом действия геометра, при котором измерение высоты горы
нисколько не делается менее точным, если ветер сдунет песчинку с ее

v-krasnodare-goryat-skladskie-pomesheniya-na-uralskoj-internet-resurs-livekubanru-1702012.html
v-krasnodare-goryat-skladskie-pomesheniya-na-uralskoj-internet-resurs-livekubanru-17042012.html
v-krasnodare-lyubiteli-tancev-sobrali-sredstva-dlya-2-devushek-s-onkozabolevaniyami-blagotvoritelnost-v-zerkale-smi.html
v-krasnodare-ozhidayut-usileniya-vetra-do-18-ms-internet-resurs-yugaru-012012.html
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат