Міністерство освіти та науки україни національний технічний університет україни - страница 6


^ 6.6 Формула линейного интерполирования и способы оценки ее погрешности.


Пусть имеется таблица значений функции /с постоянным шагом h

> 0 и требуется по табличным данным найти f(x

)

при

х,

не совпадающем с табличными аргументами. Для этого обозначим через х0, х1

(

х

0

< х

1

) два соседних табличных аргумента, между которыми находится х

,

через у0, у1 — соответствующие табличные значения, и из первой интерполяционной формулы Ньютона при n

= 1 получим
f(x)≈y0+(x-x0)/h*Δy0P1(x)
Это и есть формула линейного интерполирования.
Слагаемое (x-x0)/h*Δy0 называется поправкой к значению у0, соответствующей
отклонению x от х0.
В случае линейной интерполяции удобно пользоваться общей оценкой погрешностей для всех x [x0, x1]. Учитывая то, что t [0; 1] при х € [x0, x1], а также равенство
max[0;1]|t(t-1)/2|= max[0;1]|t(t-1)/2|=1/8
для абсолютной погрешности функции Р1 на [x0, x1] получим формулу
ΔΡ1 = max[x0;x1]V1(x)=1/8*M2h2
Следовательно,
|f(x)-P1(x)|=|R1(x)|<= 1/8*M2h2, х € [x0, x1]
Покажем, что при оценке погрешностей линейной интерполяции можно избавиться от вычисления f " и поиска числа М2. Для этого установим связь между f " и конечной разностью второго порядка.
Возьмем х2 = х1 +h и предположим, что производная f " непрерывна также на 1; х2]. По теореме Лагранжа имеем
Δy0=f(x0+h)-f(x)=f ‘(c1)h
где c1 [x0, x1]- Далее с помощью этой же теоремы найдем выражение для второй разности через f ":
Δ2у0 = hΔf(с1) = h(f '(с1 + h) – f '(с1)) = f "(с2)h2,
где число с2 принадлежит интервалу 1; с1 + h) € [x0, x1].
В силу непрерывности f " на 0; х2] при малом шаге hс большой степенью точности можно считать, что f"(x)≈f "(x0) для всех х € 0; х2]. Отсюда вытекает, что
Δ2y0≈f“(x0)h2 или f“(x0)≈Δ2y0/h2
а также М2 ≈|f "(х0)|- Полученные соотношения позволяют применять достаточно хорошую приближенную оценку:
|R1(x)|≈1/8*|Δ2y0|, x € [x0;x1]

^ 6.7 Обратное линейное интерполирование.


До сих пор с помощью интерполяционных формул вычисляли значение табличной функции f по данному аргументу х. На практике часто приходится решать обратную задачу: дано какое-то значение у функции f, не равное табличным значениям yi, и необходимо найти соответствующий аргумент х.
Речь в этом случае идет о вычислении значений обратной но отношению к у = f(x) функции, которую мы обозначим х (y). Если f монотонна в области вычислений, то обратная для нee функция там существует, причем она также табличная, только теперь y, являются аргументами, а х, — значениями φ (i= 0,1,…,п).
Табличные аргументы у, обратной функции будут равноотстоящими лишь в случае линейной зависимости между x и у, поэтому для обратного интерполирования в общем случае подойдет многочлен Лагранжа. Аналогично поступаем при записи остаточного члена и оценочной функции, дополнительно заменяя производную f (n+1) (с), где
с € (x0; хn), на φ(n+1)(с) при некотором с между у0 и уn, или взяв число Ми+1 = max|φ(т+1)(y)|, где наибольшее значение находится но всем у между у0 и yn.
Формула обратного линейного интерполирования
x=φ(y)≈x0+(y-y0)/Δy0*hP1(y)
Для вычислений с ее помощью при заданном у выбираются два соседних табличных значения функции f, между которыми находится у, и предыдущее значение принимается за у0, а последующее — за у1.
Остаточный член формулы выглядит следующим образом:
φ(y)-P1(y)=R1(y)=φ”(c)/2*(y-y0)(y-y1)
где с — некоторое число между y0 и у1.

Задание


Дана таблица значений функции с верными цифрами:

x

X

X

X

X
0
1
0,4
1,1024
0,8
1,5082
1,2
2,3881
1,6
3,9536
0,1
1,0053
0,5
1,1693
0,9
1,6763
1,3
2,7057
1,7
4,4823
0,2
1,0227
0,6
1,2575
1,0
1,8768
1,4
3,0696
1,8
5,0758
0,3
1,0543
0,7
1,3695
1,1
2,1130
1,5
3,4842
1,9
5,7396


Вариант
а
b
с
d
9
0,85
0,83
1,1847
2,9650

Решение


Вычислим с помощью первого интерполяционного многочлена Ньютона второй степени.
x=0,85; x0=0,8; x1=0,9;
h=x1-x0=0,1;
Составим таблицу конечных разностей:

x
y
Δy
Δ2y
Δ3y
Δ4y
0
1
0,0053
0,0121
0,0021
0,0002
0,1
1,0053
0,0174
0,0142
0,0023
0
0,2
1,0227
0,0316
0,0165
0,0023
0,0002
0,3
1,0543
0,0481
0,0188
0,0025
0
0,4
1,1024
0,0669
0,0213
0,0025
0,0004
0,5
1,1693
0,0882
0,0238
0,0029
-0,0002
0,6
1,2575
0,112
0,0267
0,0027
0,0003
0,7
1,3695
0,1387
0,0294
0,003
0,0003
0,8
1,5082
0,1681
0,0324
0,0033
-0,0001
0,9
1,6763
0,2005
0,0357
0,0032
0,0004
1
1,8768
0,2362
0,0389
0,0036
0,0002
1,1
2,113
0,2751
0,0425
0,0038
0,0006
1,2
2,3881
0,3176
0,0463
0,0044
-0,0003
1,3
2,7057
0,3639
0,0507
0,0041
0,0004
1,4
3,0696
0,4146
0,0548
0,0045
0,001
1,5
3,4842
0,4694
0,0593
0,0055
0
1,6
3,9536
0,5287
0,0648
0,0055
 
1,7
4,4823
0,5935
0,0703
 
 
1,8
5,0758
0,6638
 
 
 
1,9
5,7396
 
 
 
 
Построим многочлен до третьей степени по первой формуле Ньютона, по данным, полученным в таблице:
P3(x)= 1,5082+0,1681t+0,0324+0,0033=
=0,00055t3+0,03075t2+0,153t+1,5082
ea-sina P3(a)=1,660804644
Найдем погрешность вычисленного значения:
R3(x)=f(4) t(t-1)(t-2)(t-3)
f(4)(x)=ex-sin x, f(4)(a)=1,588366447
R3(a)=1,58837*|0,5(-0,5)(-1,5)(-2,5)|=6,2
Оценим точность данного приближение:
M4=
x=x0: |ex-sin x|=1,508184838
x=x1: |ex-sin x|=1,676276202
V3(x)=M4=1,676276202*0,5*0,5*1,5*2,5=
=6,55
Оценим погрешность значений взятых из таблицы конечных разностей, так как они дают значительное влияние на результат и его точность. По условию задачи данные числа yi имеют верные значащие цифры, fзначит, их абсолютные погрешности . По законам вычисления погрешностей арифметических операций разности Δy будут иметь погрешности 0.001, разности Δ2y – 0.002, а разности Δ3y – 0.003. Тогда общая оценка точности использованных табличных значений:

Полная погрешность данного вычисления:
V=+V3=0,0016875+0,00000655=0,00169405
Данная погрешность достаточно велика и показывает, что в вычисленном числе всего 2 верные значащие цифры:
ea-sin a=1,59
Но даже при таком округлении вычисленное число далеко от верного числа. Для наглядности найдем реальное значение функции в данной точке:
>> exp(0.85)-sin(0.85)
ans =
1.5884
Такую неточность можно объяснить тем, что мы использовали упрощенную первую формулу Ньютона, а так же тем что она рассчитана для значений, расположенных в начале таблицы.

Ответ:

e0,85-sin 0,85=1,59
Определим значение функции f для аргументов a и b.
a=0.85; b=0.83; x0=0.8; x1=0.9;
h=x1-x0=0.1
Оценим погрешность линейного интерполирования:
|R1(x)|=M22
M2=
f”(x)=ex+sin x
f”(x0)=2,942897019
f”(x1)=3,242930021
M2=3,2429
|R1(x)|=2=0,004053662526
Вычислим погрешность по таблице конечных разностей:

Обе погрешности свидетельствуют о том, что в приближении методом линейного интерполирования будет как минимум 2 верные цифры после запятой. Найдем приближенное значение в точках a и b.
ea-sin a 1,5082+=1,59225
ea-sin a 1,5082+=1,55863
Найдем реальные значения для проверки приближений:
>> exp(0.85)-sin(0.85)
ans =1.5884
>> exp(0.83)-sin(0.83)
ans=1.5554
Как видно из результатов метод линейного интерполирования дает более точные результаты, чем упрощенная первая формула Ньютона.

Ответ:

e0,85-sin(0,85)=1,59225; e0,83-sin(0,83)= 1,55863
3) Вычислим методом обратного интерполирования значения чисел c и d, для функции φ, которая является обратно к функции f:
a) c=1,1847; y0=1,1693; x0=0.5; =0,0882
0,5+0.517460317
б) d=2,9650; y0=2,7057; x0=1,3; 0=0,3639
(d)=1,3+1,37125584
Проверим данные результаты, найдя значения функции в найденных значениях x:
>> exp(0.52)-sin(0.52)
ans = 1.1851
>> exp(1.37)-sin(1.37)
ans = 2.9554
Как видим из полученных значений, приближенный интерполяционный метод для вычисления обратной функции имеет большую погрешность.

Ответ:




regressionnij-analiz-pozvolyaet-ustanovit-prichinno-sledstvennie-vzaimosvyazi-mezhdu-peremennimi-obemom-prodazh-i-rashodami-na-reklamu-urovnem-obsluzhivaniya-i.html
regressionnij-analiz-processa-nikelirovaniya.html
regressiruyushaya-regressiruyushaya-ishemiya.html
regressiya-ili-perehod-v-chastichno-detskoe-sostoyanie-stanovitsya-osnovoj-povisheniya-effektivnosti-informacionnogo-vozdejstviya-v-blogah.html
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат