Міністерство освіти та науки україни національний технічний університет україни - страница 9


^ 9. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА-КОШИ


9.1 Общее и частное решения обыкновенного дифференциально­го уравнения 1-го порядка. Интегральные кривые


Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида  в предположении, что функция f непрерывна как функция двух пе­ременных в области своего определения D,.
Функция непрерывно дифферен­цируемая на некотором конечном или бесконечном промежутке из

R

и обращающая на нем уравнение  в тождество

называется решением этого уравнения на этом промежутке.
Различают общее решение дифференциального уравнения, кото­рое записывается в виде функции

с произвольной числовой постоянной ^ С, и частное решение
 получающееся из общего решения при конкретном (до­пустимом) значении числового параметра С= С0.
Для выделения частного решения обычно ставится условие, ко­торому должно удовлетворять решение у(х0) = у0. Понятно, что здесь 0, y0)  Df.
Соотношение у=у0 и x0 называют начальным условием, числа

xq

и у0 — начальными данными, а точку (х0, у0) — начальной точкой.
График решения дифференциального уравнения называется ин­тегральной кривой этого уравнения.

^ 9.2 Задача Коши. Теорема Пикара


Задача нахождения частного решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию у=у0 и x0, на­зывается задачей Коши.
Если же общее решение известно и начальное условие дано, то число С0, определяющее искомое частное решение, нахо­дят из уравнения относительно .
Геометрический смысл задачи Коши заключается в нахождении интегральной кривой, проходящей через начальную точку (х0, у0).
Преж­де чем приступать к решению задачи Коши, предварительно надо выяснить, существует ли решение уравнения, удовлетворяющее дан­ному начальному условию, а если да, то сколько их может быть. Справедлива следующая теорема (теорема Пикара): пусть точка (х0, у0) является внутренней точкой замкнутой прямоугольной области

и на области D выполнены условия:
1) функция f непрерывна как функция двух переменных;
2) частная производная f'y существует и ограничена как функция двух переменных (в частности, непрерывна в этой области).
Тогда найдется такой отрезок, на котором уравнение  имеет единственное решениеудов­летворяющее заданному начальному условию.

^ 9.3 Геометрический смысл правой части дифференциального


урав­нения, разрешенного относительно производной


Возьмем произвольную точку 

на интегральной кривой  (рис. 9). Так как функция φ является решением, справедливо соотношение

С

Рис.9


другой стороны, по геометрическому смыслу производной, , где α — угол между касательной, проведенной к дан­ной кривой в точке А, и поло­жительным направлением оси Ох. Отсюда следует, что ,

т.е. значение f(x,у) функции f равно угловому коэф­фициенту касательной, прове­денной в точке А к интеграль­ной кривой .
Полученный результат спра­ведлив для любой внутренней точки М(х,у)

из области D. Вы­числив получим угловой коэффициент касательной к некоторой проходящей через эту точку интегральной кривой, при этом сама кривая может быть не­известна. Можно сказать, что значения определяют направ­ления интегральных кривых в тех точках, где они вычислены.
Направление кривой в точке М(х,у)

обычно указывается с по­мощью отрезка небольшой длины с центром в Μ и с углом наклона 

к положительному направлению оси Ох. Проведя достаточно большое число таких отрезков, получаем некоторое пред­ставление о конфигурации интегральных кривых уравнения.

^ 9.4 Понятие численного решения. Ломаная Эйлера








Табл.
На практике наиболее распространенными являются численные методы приближенного интегрирования дифференциальных урав­нений, дающие решение задачи Коши в виде таблицы приближен­ных значений точного решения φ. Эту табли­цу [таблично заданную функцию 

и на­зывают численным решением задачи Коши. Для выполнения начального условия табли­ца должна содержать данные х0, у0.
Если задан конечный промежуток, на ко­тором ищется решение, и точка х0 лежит внут­ри этого промежутка, приближенное решение имеет вид табл. 2. Вначале в ней известны х0 и у0, затем отыскиваются остальные таблич­ные данные. Так как правила определения «верхних» и «нижних» (относительно х0 и у0

)

данных одинаковы, будем искать это решение в виде таблици.
Для построения выбирается шаг h и вычисляются табличные аргументы . Затем последовательно на­ходятся числа , близкие к значениям точно­го решения  в точках :

Точность приближенных равенств зависит от способа вы­числения  и от шага таблицы h. Чем меньше шаг, тем выше должна быть точность таблицы. Заданное значение у0 считается точным чис­лом. Погрешности появляются при вычислении у1 , а далее обычно происходит их накопление.
Теорема. Если все частные производные функции f до k-го (k1) порядка непрерывны в прямоугольной области D, то всякое реше­ние уравнения , график которого проходит через внут­реннюю точку (х0, у0) этой области, имеет производную (k+1)-го порядка, непрерывную в некоторой окрестности x0.

^ 9.5 Метод Эйлера-Коши, его геометрический смысл.


Геометрический вывод.

Рассмотрим алгоритм последо­вательного вычисления  методом Эйлера- Коши.
Пусть известны данные xi, уi и xi+1

.

Бо­лее точное приближение 

можно получить, если учи­тывать направления интегральных кривых, характерные для начала и конца отрезка [xi, xi+1]. Иллюстрация вычисления  при i=0 приведена на рис. 10.
Точка  лежит на некоторой интегральной кривой (при i=0это точное решение задачи Коши у = φ(x)), касательная к которой в точке Ai

имеет угловой коэффи­циент 

Найдем

ординату точки на этой касательной, соответствую­щей абсциссе xi+1

:



Вычислив , узнаем направление проходящей через 

интегральной кривой в этой точке. Теперь найдем «ус­редненное» направление кривых на рассматриваемом отрезке:

и возьмем в качестве число
Геометрический смысл этой формулы следующий. Если через исходную точку Ai

провести прямую с угловым коэффициентом  и взять на ней точку Ai+1 с абсциссой xi+1

то эта формула определяет орди­нату этой точки.

^ 9.6 Оценка погрешности численного решения методом двойного пересчета.


Пусть строится таблица с отстоящими на шаг h аргументами  Сначала одним из методов отыскивают значения  с шагом h, а затем проводятся вычисления с шагом h/2. Понятно, что в последнем случае при каждом переходе от данного аргумента к следующему потребуется двукратное применение ме­тода. Соответствующие аргументам хi новые табличные значения обозначим через уi*(у0*=у0). Это улучшенные приближения к и поэтому таблицу с данными  возьмем в каче­стве искомого численного решения с шагом h. Расстояния между уi* и точными числами  вы­числяются по приближенным формулам для Метода Эйлера- Коши

regressiya-iz-za-stressa-bolezni-ili-zhitejskih-peremen-ingrid-bauer-zhizn-bez-podguznika-nezhnaya-mudrost-estestvennoj.html
regressiya-metodicheskie-rekomendacii-programma-kursa-tema-metodologicheskie-principi-psihologii-lichnosti-o-voprosi-k-teme.html
regressiya-mihail-mihajlovich-reshetnikov-elementarnij-psihoanaliz-elementarnij-psihoanaliz-vostochnoevropejskij.html
regressiya-na-primitivnij-uroven-kniga-posvyashena-novim-vozmozhnostyam-cvetovoj-diagnostiki-v-artterapii-shedevrami.html
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат