Симметрия молекул и кристаллов - страница 3

^

S2p+1={C2p+1,v}=C2p+1,h

S4p+2={C2p+1,I}=C2p+1,i


В частности группа

S

2

имеет 2 элемента

Е

и

I

.
7. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ

D

nh

={D

nh

,

h

}

Если к диэдральной группе

D

n

добавить горизонтальную плоскость

h

, то ее присутствие требует n вертикальных плоскостей, проходящих через оси

С

2

(ось второго порядка и две взаимно перпендикулярные плоскости всегда присутствуют вместе). Поскольку

коммутативно со всеми элементами

D

nh

можно записать как

D

nh

={D

n

,

h

}=D

n

*C

s

.
При четном n в числе элементов

D

nh

имеется инверсия, т.е.

D

2nh

={D

2n

,

h

}=D

nh

*C

i

.
Отсюда следует, что число классов в

D

nh

равно удвоенному числу классов в

D

n

. Половина из них совпадает с

D

n

, а другая половина получается из первых умножением на

h

. Отражения в

v

все относятся к одному классу (если n- нечетно) и к 2 классам (если n четно). Например, в группе

D

3h

элементы симметрии:

C

3

,

h

, 3

v

,

3

C

2

; Преобразования (элементы группы): E, C31,C32; 3C2; h; S31,S32; 3v.
10. ДИЭДРАЛЬНЫЕ ГРУППЫ

D

nh

={

D

n

,

d

}. Поскольку

D

nh

уже содержит вертикальные плоскости, проходящие через оси

C

2

, то единственно возможный другой путь добавления другой плоскости к

D

n

, при котором система преобразуется сама в себя, - это поместить эту плоскость по биссектрисе угла между двумя соседними осями. Эта плоскость диагональна - d. Эта плоскость требует присутствия еще n-1 таких же плоскостей. Такие диагональные плоскости отражают две соседних двукратных оси одну в другую, т.е. все двукратные оси становятся эквивалентными как для четного, так и для нечетного n. Подобным же образом и все плоскости оказываются эквивалентными. Поскольку угол между плоскостью и осью всегда является нечетным числом /2n, в случае n нечетного одна из плоскостей перпендикулярна к одной из двукратны осей. Значит при n=2p+1 система имеет центр симметрии. Для

D

nd

с четным n имеем следующие классы:
1. Е;
2. Вращение на угол  вокруг 2p кратной оси;
3. p-1 классов сопряженных вращений вокруг

С

2

p

;
4. один класс 2p вращений на угол ;
5. один класс 2p отражений в

d

;


6. p классов сопряженных вращательных отражений. Итого всего: 1+1+[p-1]+1+1+p=2p+3.
Пример - молекула C2H6. Симметрия

D

3d

. Элементы симметрии:

C

3

,

3

C

2

, S

6

, I,

3

d

. Операции

:

E; C31, C32; 3C2; I; S61, S63; 3d

.


Группа

D

2p+1,d

имеет центр инверсии, а потому имеет в классов в два раза больше, чем

D

2p+1

т.е. 2p+4.
11. ГРУППА ТЕТРАЭДРА

Т

d

={V

d

,C

3

}

. Группа содержит все преобразования симметрии тетраэдра. Шесть плоскостей, проходят через ребра и медианы противоположных граней и содержат ось

C

3

. Поэтому C31 и C3-1C32 сопряжены. Двукратные оси группы

Т

тоже становятся эквивалентными четырехкратным зеркально-поворотным осям, поскольку образующая группа

V

d

. Всего 24 элемента разбиты по следующим 5 классам: E; 8C3, 6,

6S

4

, 3C

2

.
12. ГРУППА ТЕТРАЭДРА

Т

h

={V

h

,C

3

}

. Поскольку

V

h

имеет центр инверсии,

T

h

={T,I}

. Классов в этой группе поэтому в два раза больше чем в группе

T

: E, 4C31, 4C32, 3C2, I, 4S61, 4S63, 3S4

.

В результате инверсии появляются 3 взаимно-перпендикулярных плоскости симметрии, проходящие через каждые две оси второго порядка, а оси третьего порядка становятся зеркально-поворотными 6-го порядка.
13. ГРУППА ОКТАЭДРА

O

h

={O,I}

. Это есть группа всех преобразовании куба. Она получается из

O

добавлением центра инверсии. Поэтому ее можно представить как

O

h

=O*C

i

. Оси третьего порядка превращаются в зеркально-поворотные оси 6-го порядка. Появляется еще 6 плоскостей, проходящих через пару противоположных ребер, и три, параллельные граням. Группа содержит 48 элементов, 10 классов, которые непосредственно могут быть получены из группы

O

.
14.ГРУППА ИКОСАЭДРА

P={P,I}

.

P

h

=PC

i

. (правильный 20-гранник c треугольными гранями)
^ C - НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ
Помимо конечных точечных групп следует рассмотреть непрерывные точечные группы с бесконечным числом элементов. Это группы аксиальной или сферической симметрии. Простейшей группой является группа

C

, содержащая повороты

C()

на произвольный угол

. Это предельный случай

С

n

при n бесконечности. Аналогично, в качестве предельных групп

C

nh

, C

nv

, D

n

, D

nh

получаются соответствующие непрерывные группы. Молекула, обладающая аксиальной симметрией, должна состоять из атомов, расположенных на линии. При этом, если она не симметрична относительно своей середины, ее точечная группа будет

C

v

, поскольку кроме поворотов существуют отражения в плоскостях

v

. Если же молекула симметрична относительно своего центра, то ее точечная группа

D

h

=C

v

*C

i

. Поэтому группы

D

h

, C

h

, D

, не могут осуществляться в качестве групп симметрии молекул. Электрическое поле

E

(полярный вектор) имеет симметрию

C

v

. Магнитное поле

H

(аксиальный вектор) имеет симметрию

C

h

.

СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ МОЛЕКУЛАМИ И ГРУППАМИ СИММЕТРИИ

.
Каждая молекула может быть отнесена к одной из точечных групп 14 типов. Эти точечные группы состоят из строго определенных операций симметрии и никакие другие точечные группы невозможны. Однако, сопоставляя молекулу с одной из перечисленных выше групп симметрии, следует тщательно выбирать более полную группу, к которой принадлежит молекула. Неполная группа допускает асимметрию в потенциальном поле вокруг атома, что из физических соображений часто не бывает. Например, плоская молекула ZX3 вряд ли обладает симметрией

C

3

, ибо тогда распределение потенциала могло бы быть такое как на рисунке, хотя совершенно ясно, что оно невозможно физически. Ее симметрия и не

D

3

(

C

3

, 3C

2

), ибо в этом случае распределение потенциала могло бы быть пространственно в виде трехлопастного винта. Полная симметрия плоской молекулы типа ZX3 -

D

3h

(

C

3

, 3C

2

, 3

v

, 

h

).
После установления полной симметрии молекулы можно классифицировать атомы на эквивалентные. Эквивалентными атомами называются атомы, которые переходят друг в друга при всех преобразованиях симметрии. Все эквивалентные атомы, разумеется, одинаковы в химическом отношении. Обратное, конечно, не справедливо. Число эквивалентных атомов не может превышать полный порядок группы (т.е. число операций), однако, может быть меньше. Для любого вида эквивалентных атомов совокупность операций, оставляющих данный атом неизменным, образует подгруппу данной группы

G

. В частном случае такая подгруппа может либо совпадать с подгруппой

G,

либо состоять лишь из одного элемента

E

(

C

1

). Подгруппа атомов X в молекуле ZX3 есть

C

2v

(

Е, C

2

, 

v

,

h

).
Поскольку мы идентифицировали элементы группы симметрии с некоторыми определенными геометрическими операциями, мы постараемся найти для них аналитические выражения, т.е. представления. Сначала мы обсудим геометрический смысл представлений и укажем до какой степени геометрическая интуиция может служить для их нахождения. Вместо действительного указания операций группы мы можем, очевидно, указать численное значение некоторой величины, связанной с симметричной фигурой для каждой из операций. Например, в циклической группе

C

n

мы можем, начиная с произвольно выбранной точки, обозначить каждую операцию

C

np

величиной соответствующего угла вращения

E
Cn1
Cn2
Cn3
Cnk
Cnn
0
1*2/n
2*2/n
3*2/n
k*2/n
n*2/n
Недостатком такого "представления" является то, что соответствующая операция с углами не является умножением, а представляет собой сложение с последующим взятием остатка от целого кратного 2. Например, 2*2/5+4*2/5=12/5 = 2+2/5 .
Но одним из требований для пригодных представлений является то, чтобы они имели, как и их операции или обычное, либо матричное умножение. Так в примере с

C

n

можно вместо значения угла выбрать комплексную координату на единичном круге. Тогда для последовательных преобразований мы будем иметь

Е
Cn2
Cn3
Cnk
…….
Cnn
ехp(2i /n)
ехp(2i /n)2
ехp(2i /n)3
ехp(2i /n)k
..
ехp(2i /n)n
причем это число будет уже удовлетворительным представителем группы. В более общем случае можно было бы рассматривать три координаты X,Y,Z точки на единичной сфере, и смотреть, что с ними происходит при различных преобразованиях группы. Если операция R группы переводит точку М(X,Y,Z) в положение M(X,Y,Z), то это преобразование координат может быть записано:
Тогда набору из 9 чисел g11, g12, ..., g33 могут быть сопоставлены операции

G

в качестве ее представления. Однако, единственный путь ввести для этих чисел простые правила умножения - это взять их в виде матрицы :

Так, в частности, операция отражения в плоскости z, операция идентичности Е и инверсии I в начале координат будут иметь вид :

Последовательное применение нескольких операций будет описываться матричным произведением исходных представлений. Действительно, пусть преобразование А дает X=АX. Последующее преобразование

B дает: X=BX, или через X: X=BAX, X=CX, где C=BA. Преобразование с коэффициентами C является произведением двух преобразований и осуществляет таким образом представление операции C=AB. В частности, зеркально-поворотная ось четвертого порядка S41=C41*Cn2 может быть представлена матрицей:
Этот же результат можно было получить, рассматривая непосредственное изменение координат при операции

h

и последующей операции C41.
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат