ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ - Линейная алгебра


ВА

РИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ


ВАРИАНТ 1



(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 1)



Контрольная работа № 1




  1. Даны матрицы

и

Найти ранг матрицы

  1. По формулам Крамера решить систему:




  1. Решить систему линейных уравнений:



Найти какое-нибудь базисное решение.

4.

Найти длину вектора , если = (

1; 4;

2); = (2; 3;

1).

5.

Даны четыре вектора

=(2;4; – 6); =(1;3;5); =(0; – 3;7); =(3;2;52)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

6.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А= .

7.

а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x1, x2)=2x12+5x22+4x1x2

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат);

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x1, x2, x3)=2x12

3x32

4x1x2+4x1x3

8x2x3.

Контрольная работа №2





1.

Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение его диагонали . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника. Сделать чертеж.

2.

Убедившись, что точка лежит на гиперболе , определить длины отрезков MF1 и MF2, где F1 и F2 ‒ фокусы эллипса.

3.

Центр окружности лежит на прямой . Составить уравнение этой окружности, если она проходит через точки пересечения двух окружностей , .

4.

Найти расстояние от плоскости до начала координат

5.

Найти угол между плоскостью и линией пересечения плоскостей и.

ВАРИАНТ 2



(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 2)


Контрольная работа № 1




  1. Даны матрицы

и

Найти ранг матрицы

  1. Методом обратной матрицы решить систему:



3.

Определить, имеет ли однородная система



ненулевое решение. Найти общее решение системы.

4.

Найти длину вектора , если длина вектора равна 3,

длина вектора равна 4, угол между векторами и равен 1200.

5.

Даны четыре вектора

=(4;3;–1); =(5;0;4); =(2;1;2); =(0;12;– 6)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

6.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного

оператора , заданного матрицей А= .

7.

а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x1, x2)= ) f(x1, x2)=3x12+ x22-x1x2 ) f(x1, x2)=x12+5x22+4x1x2

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования

координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x1, x2, x3)=x12

+

3x22

+

4x32 +2x1x2+2x1x3 +6x2x3..

Контрольная работа №2


1.

Составить уравнение прямой, проходящей через вершину прямого угла треугольника и центр описанной окружности, если координаты остальных вершин треугольника и . Сделать чертеж.

2.

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами равно 10.

3.

Определить вид и расположение кривой второго порядка , приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить уравнения прямой, проходящей через фокус этой кривой и точку с ординатой, равной 5.

4.

Найти расстояние от плоскости до начала координат.

5. Найти угол между плоскостью и линией пересечения плоскостей и .

ВАРИАНТ 3



(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 3)


Контрольная работа № 1




  1. Дана матрица



Найти ранг матрицы

2.

Методом обратной матрицы решить систему:



3.

Определить, имеет ли однородная система



ненулевое решение. Найти общее решение системы.

4.

Вычислить:

, если = (

2; 0; 3); = (2;

2; 0); = (2;

2; 3).

5.

Даны четыре вектора

=(1;3;5); =(0;2;0); =(5;7;9); =(0;4;16)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

6.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А= .

7.

а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму)
f(x1, x2)=4x12+ x22

4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x1, x2, x3)= x12

+

2x22

+

7x32 +2x1x2+2x1x3 +4x2x3.

Контрольная работа №2


1.

Точки , и являются вершинами треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, опущенной из точки А на сторону ВС. Определить координаты точки Н – основания высоты АН треугольника АВС. Сделать чертеж.

2.

Составить уравнение окружности, проходящей через точки , и .

3.

Убедившись, что точка лежит на гиперболе , составить уравнения прямых, проходящих через эту точку и фокусы гиперболы.

4.

Определить, находятся ли точки , , и на одной плоскости. Если это так, написать уравнение этой плоскости.

5.

Найти расстояние от точки пересечения прямых и до плоскости .

ВАРИАНТ 4



(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 4)


Контрольная работа № 1




  1. Решить матричное уравнение


где

и

2.

По формулам Крамера решить систему:

3.

Решить систему линейных уравнений:


Найти какое-нибудь базисное решение.

4.

Найти вектор , коллинеарный вектору =(

1;

1; 5) и такой, что , где = (3;

2;

-2).

5.

Даны четыре вектора

=(2;3;7); =(3;–2;4); =(–1;1;–1); =(1;1;3)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

  1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного

оператора , заданного матрицей А= .

  1. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму


f(x1, x2)=3x12

x22+4x1x2

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x1, x2, x3)=2x12

+

x22

+

4x32 +2x1x2

4x1x3

2x2x3.

Контрольная работа №2


1.

Составить уравнение прямых, на которых лежат диагонали параллелограмма, если две его стороны лежат на прямых и , а одна из вершин параллелограмма имеет координаты . Сделать чертеж.

2.

Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси абсцисс, вершина которой находится в начале координат, проходящей через точку .

3.

Убедившись, что точка лежит на эллипсе , составить уравнения прямых, проходящих через эту точку и фокусы эллипса.

4.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и линию пересечения плоскостей и .

5

.

Верно ли, что прямая параллельна плоскости ? Если да, то найти расстояние между этими прямой и плоскостью.


ВАРИАНТ 5



(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 5)


Контрольная работа № 1




  1. Дана матрица


Найти ранг матрицы

2.

По формулам Крамера решить систему:

3.

Определить, имеет ли однородная система
ненулевое решение. Найти общее решение системы.

4

.

Вычислить:

, если = (

2;1;

4); = (1;

2; 0); = (0;

1; 3).

  1. Даны четыре вектора

=(3;4; – 3); =(2;1; – 4); =(– 5;5;0); =(8; – 16;17)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

  1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А= .

  2. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму


f(x1, x2)=2x12+ x22

6x1x2

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x1, x2, x3)=2x12

5x22+8x32

4x1x2+2x1x3+6x2x3.

Контрольная работа №2


1.

Составить уравнения прямых, на которых лежат катеты прямоугольного равнобедренного треугольника, если вершина прямого угла находится в точке , а гипотенуза лежит на оси абсцисс. Сделать чертеж.

2.

Составить уравнение окружности, проходящей через точку , если ее центр совпадает с точкой .

3.

Определить вид и расположение кривой второго порядка , приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить уравнение прямой, проходящей через ее центр параллельно прямой . Сделать чертеж.

4.

Определить, находятся ли точки , , , на одной плоскости. Если это так, написать уравнение этой плоскости.

5.

Найти расстояние от точки пересечения прямых и до плоскости .


ВАРИАНТ 6



(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 6)


Контрольная работа № 1




  1. Даны матрицы

и .

Установить, имеет ли матрица обратную.


  1. Методом обратной матрицы решить систему:





  1. Решить систему линейных уравнений:



Найти какое-нибудь базисное решение.

  1. Найти , если , , векторы и перпендикулярны.

5.

Даны четыре вектора

=(– 2;1;7); =(3; – 3;8); =(5;4;1); =(18;25;1)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

6.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А= .

7.

а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x1, x2)=4x12+ x22

4x1x2

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б)По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x1, x2, x3)= 2x12

+

x22

+

3x32 +2x1x2

2x1x3

2x2x3..

Контрольная работа №2


1.

Вычислить радиус окружности, вписанной в треугольник, у которого две биссектрисы лежат на прямых и , а одна из его сторон на прямой . Сделать чертеж.

2.

Составить уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 24, а координаты ее фокусов , .

3.

Определить вид и расположение кривой второго порядка , приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить уравнения прямой, проходящей через фокус этой кривой и точку с абсциссой, равной 0.

4.

Найти угол между плоскостями и .

5.

Лежат ли прямые , и в одной плоскости? Если да, то написать уравнение этой плоскости.


ВАРИАНТ 7



(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 7)


Контрольная работа № 1




  1. Даны матрицы

и .

Найти ранг матрицы

2.

Методом обратной матрицы решить систему:



3

. Установить, имеет ли однородная система




ненулевое решение. Найти общее решение системы.

4.

Найти значение параметра α, при котором векторы и перпендикулярны, если = (6;

3; 5) и = (

1;

3; 2).

5.

Даны четыре вектора

=(2;1;0); =(1;–1;2); =(2;2;–1); =(3;7;– 7)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

6.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А= .

7.

а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x1, x2)=4x12+3 x22+4x1x2
к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x1, x2, x3)=

2x12

+

5x22

+

3x32 +2x1x2

2x1x3

2x2x3.


Контрольная работа №2


1.

Точки , и являются вершинами треугольника ABC. Определить координаты точки Н – основания медианы АН треугольника АВС и составить уравнение медианы треугольника, опущенной из точки А на сторону ВС. Сделать чертеж.

2.

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если уравнения ее асимптот , а расстояние между вершинами равно 48.

3.

Составить уравнение диаметра окружности , перпендикулярного к прямой .

4.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и линию пересечения плоскостей и .

5.

Верно ли, что прямая параллельна плоскости ? Если да, то найти расстояние между этими прямой и плоскостью.

ВАРИАНТ 8



(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 8)


Контрольная работа № 1




  1. Даны матрицы

и

Определить, имеет ли матрица обратную.

  1. По формулам Крамера решить систему:





  1. Решить систему линейных уравнений:



Найти какое-нибудь базисное решение.

4.

Найти вектор , коллинеарный вектору =(1; 1;

2) и такой, что , где = (

3; 1; 2).

5.

Даны четыре вектора

=(1;1;1); =(0;2;3); =(0;1;5); =(2; –1;1)

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

6.Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А= .

7.

а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=

x12+3 x22+4x1x2

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x1, x2, x3)=x12

+

x22

+

x32 +4x1x2+6x1x3 +4x2x3..


Контрольная работа №2




  1. Вычислить площадь квадрата, если две его стороны лежат на прямых , .

2.

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами равно 8.

3

. Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой .

4.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

5.

Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой, проходящей через точки и .


ВАРИАНТ 9



(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 9)


Контрольная работа № 1




  1. Даны матрицы

и

Определить, имеет ли матрица обратную.

2

. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:



  1. Решить систему линейных уравнений.




Найти какое-нибудь базисное решение.

4.

Найти длину вектора , если = (1;3; -2); = (

2;1;

1).

5.

Даны четыре вектора =(1; –1;3); =(2;0;1); =(3;4; –5); =(0;0;1). в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

6.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А= .

7.

а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму
f(x1, x2)=

2x12+5 x22

4x1x2

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x1, x2, x3)=3x12

3x32

4x1x2+4x1x3

2x2x3.

Контрольная работа №2



1.

Точка является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнение прямой, на которой лежит параллельная ей сторона этого квадрата.

2.

Убедившись, что точка лежит на эллипсе , определить длины отрезков MF1 и MF2, где F1 и F2 ‒ фокусы эллипса.

3.

Определить вид и расположение кривой второго порядка , приведя ее уравнение к каноническому виду. Составить уравнение прямой, проходящей через ее центр перпендикулярно прямой . Сделать чертеж.

4.

Найти угол между плоскостями и .

5.

Лежат ли прямые , и в одной плоскости? Если да, то написать уравнение этой плоскости.

ВАРИАНТ 10



(для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 0)


Контрольная работа № 1




  1. Даны матрицы

и

Определить, имеет ли матрица обратную.

2.

Методом обратной матрицы решить систему:



3

. Определить, имеет ли однородная система


ненулевое решение. Найти общее решение системы.

4. Вычислить:

, если = (1; 0; 3); = (3;

2; 0); = (2; 1;

4).

5.

Даны четыре вектора

=(4;5;2); =(3;0;1); =(–1;4;2); =(5;7;8).

в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

6

. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А= .

7

. а) Методом Лагранжа привести квадратичную форму

f(x1, x2)=

2x12+6 x22

8x1x2

к каноническому виду (указать пример соответствующего преобразования координат).

б) По критерию Сильвестра исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f(x1, x2, x3)=2x12

+

3x32

2x1x2+4x1x3

8x2x3.

Контрольная работа №2


1.

Найти координаты вершин углов прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза лежат на прямых и соответственно, а одна из вершин, лежащих на этом катете имеет абсциссу, равную 2. Сделать чертеж.

2.

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если расстояние между фокусами равно 10, а длина оси, расположенной на оси ординат, равна 8.

3.

Составить уравнение окружности, проходящей через точки ,

, а ее центр лежит на прямой .

4.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

5.

Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой, проходящей через точки и .

Примеры выполнения заданий контрольных работ


Ниже представлены типовые варианты расчетно-аналитической и контрольных работ по линейной алгебре, составленных из задач, приведенных с решениями в учебниках [1] или [5] , [3] , [4] и в практикумах [2] или [6] (рассматриваемым в качестве основной литературы).


зада-ния



Номера задач

(

с решениями

)



по учебникам

[

1

]

или

[

5

]



по практикумам



[2]

или

[

6

]



по учебнику

[3]




по учебнику

[4]




Контрольная работа № 1




1

1.13

1.50

1.15

1.15

2

2.1

2.1

2.1

2.1

3

2.4

2.35

2.4

2.4

4

3.1

3.2

3.15

3.21

5

3.4

3.24

3.39

3.44

6

3.7

3.71

3.7

3.12


Контрольная работа № 2




1

4.5

4.5

4.5

4.5

2

4.9

4.51

4.9

4.9

3

4.13

4.53

4.67

4.67

4



4.88

4.109

4.109

5



4.90

4.111

4.111


ЛИТЕРАТУРА



Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат